Величков е роден в пограничното тогава с. Цървище, Кочериновско. Работи като учител по литература. В социалистическото движение влиза през 1913 г. Участва в Балканските и Първата световна война. По време на Септемврийското въстание през 1923 г. Окръжният комитет на комунистическата партия в Горна Джумая възлага на Алекси Величков като запасен капитан командването на Горноджумайския въстанически отряд. След разгрома на въстанието бяга в Югославия и оттам в Австрия. По решение на задграничното ръководство на БКП заминава за СССР през 1926 г. Приет е за член на ВКП (б). Арестуван е през 1937, но е освободен през 1938 година. По време на Втората световна война е евакуиран в Уфа. От 1936 г. до деня на неговата смърт Алекси Величков работи като старши научен сътрудник в Института по литература при Украинската академия на науките.